Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

22
Решение. ОДЗ: .
R
G
= Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, полу-
чаем (теорема 4) равносильное уравнение .7lg)2(5lg)34(
22
⋅−−=⋅++ xxxx
Далее, применив следствие к теореме 3 и теорему 1, приходим к уравнению
,0)7lg25lg3)7lg5)((lg1(
=
++−+
x
x
которое, на основании теоремы 5, равно-
сильно на
G
совокупности двух линейных уравнений
⎢
⎣
⎡
=++⋅−
=+
,0)7lg25lg3()7lg5(lg
,01
x
x
с множеством решений .
)4,1lg(
)49125lg(
;1
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⋅
−=T
Таким образом, .TGTX == I
Ответ. .
)4,1lg(
)49125lg(
;1
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⋅
−=X
Пример 16. Решить уравнение
(
)
.273
1
=
−x
x
Решение.
ОДЗ: .
R
G
= Тождественно преобразуя левую часть уравнения, получаем
(теорема 1) равносильное на
G
уравнение .33
3
2
)1(
=
−xx
А для последнего (следст-
вие к теореме 4) – уравнение 3)1(5,0
=
−
⋅
x
x
или ,06
2
=−− xx множество реше-
ния которого -- }.3;2{−=
V
Значит, .VGVX
=
=
I
Ответ. }.3;2{−=X
Пример 17. Решить уравнение .833
11
=
−
−
+
xx
Решение. ОДЗ: .
R
G
= Введя вспомогательную переменную ),0(3 >= yy
x
ис-
ходное уравнение запишем в виде
8
3
3 =−
y
y
или
.0383
2
=−− yy
Множество ре-
шений последнего уравнения -- }.32;3{
−
=
Y Значит, на основании теоремы 7,
исходное уравнение равносильно на
G
уравнению 33
=
x
или, по следствию к тео-
реме 4, -- уравнению
.1=
x
Таким образом, }.1{
=
X
Ответ. }.1{=X
Пример 18. Решить уравнение
.365812163
xxx
=
+
Решение. ОДЗ: .
R
G
= (Приведем один из возможных вариантов решения.) Введем
новые переменные
).0,0(9,4 >>== vuvu
xx
Тогда данное уравнение запишет-
ся в виде
.0523
22
=
−
+ u
v
vu Тождественно преобразуя левую часть последнего
уравнения (используя тождество
=
+
+
cbxax
2
),)((
21
xxxxa −
−
=
если дискри-
минант положителен), получаем уравнение ,0)
3
2
)((3 =−−⋅ vuvu которому равно-
сильна совокупность уравнений
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
.
3
2
,
vu
vu
Следовательно, на основании теоремы 16,
исходное уравнение равносильно на
G
совокупности уравнений
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅=
=
,9
3
2
4
,94
xx
xx
или

Страницы