Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Семенов А.С. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

19
].1;
2
3
[]0;
2
3
[ U−= Возведем обе части уравнения в квадрат и, на основании тео-
ремы 4, получим равносильное на
2
G
уравнение
2462
924161
x
x
x
x
+−
=
−
или
.01102416
246
=−+−
x
x
x
Тождественно преобразовывая левую часть последнего
уравнения, последовательно получаем 0)12()816()816(
22446
=−+−−− xxxxx ,
,012)12(8)12(8
22224
=−+−−− xxxxx
.0)188)(12(
242
=+−− xxx
Теперь, на
основании теоремы 5, имеем равносильную на
2
G совокупность двух уравнений
⎢
⎣
⎡
=+−
=−
.0188
,012
24
2
xx
x
Решая первое из них, имеем ;
2
2
,
2
2
2221
GxGx ∈−=∉= ре-
шая второе -- ,
2
22
,
2
22
,
4
22
2423
2
GxGxx ∉
+
−=∈
+
=
±
=
.
2
22
,
2
22
2625
GxGx ∈
−
−=∉
−
=
Значит, };;{
6322
xxxX
=
, а U
1
XX
=
.
22
XX =U
Ответ. }.225,0;225,0;25,0{ +⋅−⋅−⋅−=X
Пример 9. Решить уравнение .7412
3
+=− xx
Решение. ОДЗ: ).;5,0[}012,{
∞
=
≥−∈= xRxG
Первый вариант решения. Так как ,074:
3
>+∈∀ xGx то, возводя обе части
уравнения в шестую степень, на основании теоремы 4, получаем равносильное на
G уравнение
23
)74()12( +=− xx или .02525144
23
=
−
−
−
x
x
x
Подстановкой
убеждаемся, что число 5 является корнем полученного уравнения. Следовательно,
многочлен в левой части его разделится на )5(
−
x
без остатка. Выполнив деление
уголком, получаем тождество
).564)(5(2525144
223
++−≡−−− xxxxxx
Значит,
на основании теоремы 5, уравнение равносильно на G совокупности уравнений
⎢
⎣
⎡
=++
=−
,0564
,05
2
xx
x
с множеством решений }.5{
=
T
Следовательно, GTX I= .
T
=
Второй вариант решения. Введем вспомогательные неизвестные по формулам
3
74),0(,12 +=≥−= xzyxy и рассмотрим систему уравнений
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
=−
,
,74
,12
3
zy
zx
yx
решения которой будем искать на множестве
}.0,0,,),,{(
3
≥≥∈∈= zyGxRzyxS
Равносильными преобразованиями последовательно получаем равносильные на
S
системы
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=
+⋅=
=
−=−
+⋅=
=
+=
−=
.092
,
),1(5,0
,
,92
),1(5,0
,
,74
,12
32
2
32
2
3
2
yy
yz
yx
zy
zy
yx
zy
xz
xy
Решим третье уравне-
ние последней системы. Тождественно преобразуя левую часть его, получаем

Страницы