ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14
Пусть теперь .0≠a Тождественно преобразуем левую часть уравнения (11),
выделяя полный квадрат суммы двух слагаемых, одно из которых равно .
x
После-
довательно получаем
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++=++ c
a
b
a
b
xac
a
b
a
b
x
a
b
xacbxax
42
44
2
2
2
2
2
2
22
= .
4
4
2
2
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
a
acb
a
b
xa
Значит, уравнение (11) равносильно на
G
уравнению
.0
4
4
2
2
2
2
=
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
a
acb
a
b
x
(12)
Введем обозначение
acb
D
4
2
−=
(число D называется дискриминантом уравне-
ния (12)). Если ,0<D то уравнение (12) принимает вид
.0
4
2
2
2
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
a
D
a
b
x Это уравнение и равносильное ему уравнение (11) решений
не имеют, так как ,0
42
:
2
2
≠+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∈∀
a
D
a
b
xRx
т.е.
=
X Ø. Если ,0=D то уравне-
ния (11) и (12) равносильны на
R
линейному уравнению ,0
2
=+
a
b
x которое имеет
единственное решение ,
2a
b
x −= т.е. .
2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=
a
b
X Если ,0>D то уравнение (12),
после использования тождества для разности квадратов, принимает вид
0
2222
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
a
D
a
b
x
a
D
a
b
x
, т.е. равносильно на
R
(теорема 5) совокупно-
сти двух линейных уравнений
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
+−
=
.
2
,
2
a
Db
x
a
Db
x
Следовательно, в этом случае
X
состоит из двух решений.
Ответ. Если у квадратного уравнения (11):
1)
,0=== cba то ;
R
X =
2) ,0,0 ≠= ba то ;:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=∈∀
b
c
XRc
3) ,0,0,0 ≠== cba то =X Ø;
4)
,04,0
2
<−=≠ acbDa
то
=
X
Ø;
5) ,0,0 =≠ Da то ;
2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=
a
b
X
6)
,0,0 >≠ Da
то
},,{
21
xxX =
где .
2
2,1
a
Db
x
±−
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
