Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

4. – бесконечно малые при n→∞.
– этот предел не существует. Поэтому говорят,
что функции
f и g не сравнимы.
При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных
бесконечно малых функций.
Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х→а. Если и f ≈ f
1
,
g ≈ g
1
, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот
предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной
бесконечно малой.
Доказательство
. Имеем . Тогда
,
что и требовалось доказать.
Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций
при
x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x
2
⁄2,log
a
(1+x) ≈ x/lna,ln (1+x) ≈
x,
(1+x)
m
–1 ≈ mx,a
x
–1 ≈ xlna,e
x
–1 ≈ x.
Примеры.
1.
.
2.
3.
.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её
графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика
такой функции
y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют
близкие значения функции: если независимая переменная
приближается к точке x
0
, то значение функции y = f(x) 
   4.                           – бесконечно малые при n→∞.



                                              – этот предел не существует. Поэтому говорят,
      что функции f и g не сравнимы.
    При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных
бесконечно малых функций.


      Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х→а. Если                       и f ≈ f1 ,


g ≈ g1, то            , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот
предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной
бесконечно малой.


      Доказательство. Имеем                    . Тогда


                                                                          ,
      что и требовалось доказать.
      Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций
при
    x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x2⁄2,loga(1+x) ≈ x/lna,ln (1+x) ≈
x,(1+x)m–1 ≈ mx,ax–1 ≈ xlna,ex–1 ≈ x.
    Примеры.



   1.                                           .




   2.

   3.                                                                 .


    НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
    Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её
графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика
такой функции y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют


   близкие значения функции: если независимая переменная
приближается к точке x0, то значение функции y = f(x)

Страницы