Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 131 стр.

    Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое – либо
очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько
промежуточных функций.
    Справедлива следующая теорема.
    Теорема 4. Если функция u = φ(x) непрерывна в точкеx0 и принимает в этой точке
значение u0 = φ(x0), а функция f(u) непрерывна в точке u0, то сложная функция y = f(φ(x))
непрерывна в точке x0.
    Используя эти теоремы можно доказать следующий результат.
    Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она
определена.
    Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и её значение в этой точке
отлично от 0, f(x0) ≠ 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют
тот же знак, что и f(x0), т.е. если f(x0) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x0–
δ;x0+ δ) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от
своего предела).

    ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ


    Если рассмотреть график функции         в окрестности точки x= 0 (см. рис. справа), то
ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые. Аналогично можно
рассмотреть функцию, изображенную на рисунке слева в окрестности точки 3. Говорят,
что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными.




   Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области
определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.
   В этом случае говорят, что при x= x0 функция разрывна. Это может произойти, если в

точке x0 функция не определена или не существует предел               , или если предел

существует, но                   .
   Примеры.

   1. Рассмотрим функцию:




           Эта функция определена во всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3
       равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв, т.к. она не имеет предела при
       x = 3: