Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 133 стр.

                                  Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы
                             в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и
                             хотя бы в одной – наименьшее.
                                  Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна
                             на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x1 ∈ [a, b]
                             такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым
                             большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x).
                             Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение
                             функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке:
                             f(x1) ≤ f(x).
                                  Ясно, что таких точек может быть и несколько, например,
на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и
x2'.
     Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение
функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то
она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни
наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не
принадлежат нашей области.
     Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.
     Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом
отрезке.
     Теорема 2. Пусть функция y = f(x)
непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого
отрезка принимает значения разных знаков,
тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней
мере, одна точка x = C, в которой функция
обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b
     Эта теорема имеет простой геометрический
смысл: если точки графика непрерывной
функции y = f(x), соответствующие концам
отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси
Ox, то этот график хотя бы в одной точке
отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции
этим свойством могут не обладать.
     Эта теорема допускает следующее
обобщение.
     Теорема 3 (теорема о промежуточных
значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна
на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для
любого числа C, заключённого между A и B,
найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a,
b], что f(c) = C.
     Эта теорема геометрически очевидна.
Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a)
= A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C –
любое число, заключённое между A и B,
пересечёт график функции, по крайней мере, в
одной точке. Абсцисса точки пересечения и
будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.