Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Найдем предел этого отношения при
Δx→0. Если этот предел существует, то его
называют производной данной функции
f(x) в точке x
0
и обозначают f '(x
0
). Итак,
.
Производной данной функции y = f(x) в точке x
0
называется предел отношения
приращения функции Δ
y к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным
образом стремится к нулю.
Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках
xможет
принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию
аргумента
x. Эта функция обозначается f '(x)
Производная обозначается символами
f '(x),y ', . Конкретное значение производной
при
x = aобозначается f '(a) или y '|
x=a
.
Операция нахождения производной от функции
f(x) называется дифференцированием
этой функции.
Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить
следующее
практическое правило:
1.
Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
2.
Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).
3.
Составить отношение и найти предел этого отношения
при Δ
x∞0.
Примеры.
1.
Найти производную функции y = x
2
а) в произвольной точке;
б) в точке
x= 2.
а)
1.
f(x + Δx) = (x + Δx)
2
;
2.
Δy = (x + Δx)
2
– x
2
=2xΔx– x
2
;
3.
.
б)
f '(2) = 4
2.
Используя определение найти производную функции в произвольной
точке.
1.
.
2.
   Найдем предел этого отношения при Δx→0. Если этот предел существует, то его
называют производной данной функции f(x) в точке x0 и обозначают f '(x0). Итак,


                                                                    .

    Производной данной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения
приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным
образом стремится к нулю.
    Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках xможет
принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию
аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

    Производная обозначается символами f '(x),y ', . Конкретное значение производной
при x = aобозначается f '(a) или y '|x=a.
    Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием
этой функции.
    Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить
следующее практическое правило:

   1. Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
   2. Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).

   3. Составить отношение                             и найти предел этого отношения
      при Δx∞0.

   Примеры.

   1. Найти производную функции y = x2

          а) в произвольной точке;
          б) в точке x= 2.
          а)

         1. f(x + Δx) = (x + Δx)2;
         2. Δy = (x + Δx)2 – x2=2xΔx– x2;


         3.                                       .

                б) f '(2) = 4

   2. Используя определение найти производную функции                   в произвольной
      точке.
         1.                          .
         2.

Страницы