Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 137 стр.

    Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции
кривую. При некотором значении х0 функция принимает значение y0=f(x0). Этим
значениям x0 и y0 на кривой соответствует точка М0(x0; y0).




    Дадим аргументу x0 приращение Δх. Новому значению аргумента соответствует
наращенное значение функции y0+Δ y. Получаем точку М(x0+Δx; y0+Δy). Проведем
секущую М0М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным

направлением оси Ox. Составим отношение      и заметим, что           .
    Если теперь Δx→0, то в силу непрерывности функции Δу→0, и поэтому точка М,
перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0. Тогда секущая М0М
будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М0, а угол φ→α при
Δx→0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением
оси Ox. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg
α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:


    т.е. f '(x) = tg α .
    Т.о., геометрически у '(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику
этой функции в точке x0, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна
тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей
точке М0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.
    Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х2 в точке М(-1; 1).
    Ранее мы уже видели, что (x2)' = 2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой
есть tg α = y'|x=-1 = – 2.

   ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ.
   НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
   Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в

этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения         существует и
конечен.
    Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или
интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или
соответственно в интервале (а; b).
    Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между
дифференцируемыми и непрерывными функциями.