Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 138 стр.

   Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой
точке непрерывна.
   Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

   Доказательство. Если                   , то

                                                       ,
   где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0.




   Но тогда
   Δy=f '(x0) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x0)→0 при x→x0, а это и означает, что
функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать.


    Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное
утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не
являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).




   Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

    В точке a при Δx→0 отношение     не имеет предела (т.к. односторонние пределы
различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но
есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к1 и к2.
Такой тип точек называют угловыми точками.

   В точке b при Δx→0 отношение        является знакопостоянной бесконечно большой

величиной              . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график
имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" c вертикальной
касательной.
    В точке c односторонние производные
являются бесконечно большими
величинами разных знаков. В этой точке
график имеет две слившиесявертикальные
касательные. Тип – "точка возврата" с