Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ
1. y = x
n
. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома
Ньютона:
(
a + b)
n
= a
n
+n·a
n-1
·b + 1/2·n(n – 1)a
n-2
·b
2
+ 1/(2·3)·n(n – 1)(n – 2)a
n-3
b
3
+…+ b
n
,
можно доказать, что
Итак, если
x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)
n
, и, следовательно,
Δ
y=(x+Δx)
n
– x
n
=n·x
n-1
·Δx + 1/2·n·(n–1)·x
n-2
·Δx
2
+…+Δx
n
.
Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δ
x в
степени выше 3.
Найдем предел
Мы доказали эту формулу для
n ∈ N. Далее увидим, что она справедлива и при
любом
n ∈ R.
2.
y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.
Так как,
f(x+Δx)=sin(x+Δx), то
Таким образом,
3.
Аналогично можно показать, что
4.
Рассмотрим функцию y= ln x.
Имеем
f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому
Итак,
5.
Используя свойства логарифма можно показать, что 
    ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
                    ФУНКЦИЙ

1. y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома
   Ньютона:

         (a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2·n(n – 1)an-2·b2+ 1/(2·3)·n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,
       можно доказать, что

       Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,
                    Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.
       Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в
   степени выше 3.
       Найдем предел


      Мы доказали эту формулу для n ∈ N. Далее увидим, что она справедлива и при
   любом n ∈ R.

2. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

       Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то




       Таким образом,


3. Аналогично можно показать, что




4. Рассмотрим функцию y= ln x.

       Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому




       Итак,




5. Используя свойства логарифма можно показать, что

Страницы