Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 141 стр.

   Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.


       ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
   Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно
получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две
дифференцируемые функции от переменной x.


   1.
   2.               .
   3.                   (справедлива для любого конечного числа слагаемых).
   4.                    .


   5.                    .



          а)             .


          б)                 .


   Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.
   Доказательство формулы 3.
   Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).
   Тогда
                 Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.
   Следовательно,

                                                               .
   Доказательство формулы 4.
   Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому
                                Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).
   Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они
непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.
   Поэтому можем записать




   На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования
произведения любого числа функций.