Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 143 стр.

   Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения
функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из
области определения функции y= f(u).
   Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.
   Установим правило дифференцирования сложной функции.
    Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную                  и
принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0
производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет
производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено
выражение u= u(x).
    Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной
данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного
аргумента по x.
    Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для
нового значения аргумента x0+Δx:
                             Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).
    Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при
Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

   По условию                . Из этого соотношения, пользуясь определением
предела, получаем (при Δu→0)

                                                ,
   где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.



   Перепишем это равенство в виде:
                                    Δy= y 'uΔu+α·Δu.
   Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно
превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены
полученного равенства на Δx

                                                                      .

   По условию                               . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0,
получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана.

    Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять
производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную,
и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.
    Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение
производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.
    По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x
получаем             , т.е.
                              y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x).
   Примеры.


   1. y = sin x2. Тогда                                       .