Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

функции, т.е. еслих
2
< х
1
, то f(x
2
) > f(х
1
).
Итак, пусть дана возрастающая или
убывающая функция
y= f(x), определенная на
некотором отрезке [
a; b]. Для определенности
будем рассматривать возрастающую функцию
(для убывающей все аналогично).
Рассмотрим два различных значения
х
1
и х
2
.
Пусть
y
1
=f(x
1
), y
2
=f(x
2
). Из определения
возрастающей функции следует, что если
x
1
<x
2
,
то
у
1
<у
2
. Следовательно, двум различным
значениям
х
1
и х
2
соответствуют два различных
значения функции
у
1
и у
2
. Справедливо и
обратное, т.е. если
у
1
<у
2
, то из определения
возрастающей функции следует, что
x
1
<x
2
. Т.е.
вновь двум различным значениям
у
1
и у
2
соответствуют два различных значения
x
1
и x
2
.
Т.о., между значениями
x и соответствующими
им значениями
y устанавливается взаимно
однозначное соответствие, т.е. уравнение
y=f(x)
для каждого
y (взятого из области значений
функции
y=f(x)) определяет единственное
значение
x, и можно сказать, что x есть
некоторая функция аргумента
y: x= g(у).
Эта функция называется
обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция
y=f(x) является обратной для функции x=g(у).
Заметим, что обратная функция
x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x)
относительно
х.
Пример. Пусть дана функция y = e
x
. Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она
имеет обратную функцию
x = lny. Область определения обратной функции 0 < y < + ∞.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на
отрезке [
a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на
отрезке [
c; d].
Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни
возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она
может иметь несколько обратных функций.
Пример. Функция y=x
2
определена при –∞<x<+∞. Она не
является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной
функции. Однако, если мы рассмотрим интервал 0≤
x<+∞, то
здесь функция является возрастающей и обратной для нее
будет
. На интервале – ∞ <x≤ 0 функция – убывает и
обратная для нее
.
Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются
взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными
x и y. 
функции, т.е. еслих2 < х1 , то f(x2) > f(х1).
    Итак, пусть дана возрастающая или
убывающая функция y= f(x), определенная на
некотором отрезке [a; b]. Для определенности
будем рассматривать возрастающую функцию
(для убывающей все аналогично).
    Рассмотрим два различных значения х1 и х2.
Пусть y1=f(x1), y2=f(x2). Из определения
возрастающей функции следует, что если x1

Страницы