Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции
мы обозначим снова через
x, а функцию через y и построим их в одной системе координат,
то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны
относительно биссектрисы 1-го координатного угла.
ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Докажем теорему, позволяющую находить производную функции
y=f(x), зная
производную обратной функции.
Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в
некоторой точке
у
0
имеет производную g '(v
0
), отличную от нуля, то в соответствующей
точке
x
0
=g(x
0
) функция y=f(x) имеет производную f '(x
0
), равную , т.е. справедлива
формула
.
Доказательство
. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y
0
, то x=g(y) непрерывна в этой
точке, поэтому функция
y=f(x) непрерывна в точке x
0
=g(y
0
). Следовательно, при Δx→0
Δ
y→0.
Покажем, что
.
Пусть
. Тогда по свойству предела . Перейдем в этом
равенстве к пределу при Δ
y→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Эту формулу можно записать в виде
.
Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.
Примеры.
1.
y = e
x
. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что
. Поэтому согласно сформулированной выше теореме
Итак,
(
e
x
) ' = e
x
Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции
мы обозначим снова через x, а функцию через y и построим их в одной системе координат,
то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны
относительно биссектрисы 1-го координатного угла.

   ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
   Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная
производную обратной функции.
   Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в
некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей


точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную         , т.е. справедлива

формула             .
   Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой
точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0
Δy→0.

   Покажем, что                    .

   Пусть             . Тогда по свойству предела                  . Перейдем в этом

равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е.                .



   Следовательно,



                                                                    ,
   что и требовалось доказать.


   Эту формулу можно записать в виде        .
   Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.
   Примеры.

   1. y = ex. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что

                     . Поэтому согласно сформулированной выше теореме




           Итак,
                                                (
                                       e ) ' = ex
                                        x

Страницы