Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,
y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '.
Доказательство формулы 5
.
Пусть
. Тогда
При доказательстве воспользовались тем, что
v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.
Примеры
.
1.
Если , то
2.
y = x
3
– 3x
2
+ 5x + 2. Найдем y '(–1).
y ' = 3x
2
– 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.
3.
y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x·cos x – ln x · sin x.
4.
5.
Таким образом,
6.
Аналогично для y= ctgx,
ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть
y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)).
Последняя функция называется функцией от функции или
сложной функцией. 
   Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,
         y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '.
   Доказательство формулы 5.


   Пусть              . Тогда




   При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.
   Примеры.



   1. Если             , то
   2. y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y '(–1).

           y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.


   3. y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x·cos x – ln x · sin x.


   4.



   5.

           Таким образом,




   6. Аналогично для y= ctgx,




        ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

   Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)).
Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Страницы