Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 139 стр.

вертикальной касательной – частный случай угловой точки.
    Примеры.

   1. Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к.

                         .

          Покажем, что она не имеет производной в этой точке.
          f(0+Δx) = f(Δx) = |Δx|. Следовательно, Δy = f(Δx) – f(0) = |Δx|
          Но тогда при Δx< 0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)


          А при Δx > 0




          Т.о., отношение    при Δx→ 0 справа и слева имеет различные пределы, а это
      значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x=
      0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная "кривая" не
      имеет определенной касательной (в этой точке их две).

   2. Функция         определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним,
      имеет ли эта функция производную при x= 0.




          Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x= 0.
      Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол π /2, т.е. совпадает
      с осью Oy.