Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

3.
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид
s = v·t, где s – путь,
пройденный к моменту времени
t, v– скорость равномерного движения.
Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в
общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние
sбудет зависеть от времени t, т.е.
будет функцией времени.
Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону
s=s(t).
Отметим некоторый момент времени
t
0
. К этому моменту точка прошла путь s=s(t
0
).
Определим скорость
v материальной точки в момент времени t
0
.
Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени
t
0
+Δt. Ему соответствует
пройденный путь s
=s(t
0
+Δt). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь
Δs
=s(t
0
+Δt)–s(t).
Рассмотрим отношение
. Оно называется средней скоростью в промежутке
времени Δ
t. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения
точки в момент
t
0
(т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту
истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток
времени Δ
t.
Итак, скоростью движения в данный момент времени
t
0
(мгновенной скоростью)
называется предел средней скорости в промежутке от
t
0
до t
0
+Δt, когда Δt→0:
,
т.е.
скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по
времени.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку
М
0
(см. рисунок).Рассмотрим
другую точку
М этой кривой и проведем секущую M
0
M. Если точка М начинает
перемещаться по кривой, а точка
М
0
остается неподвижной, то секущая меняет свое
положение. Если при неограниченном приближении точки
М по кривой к точке М
0
с
любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой
М
0
Т, то
прямая
М
0
Т называется касательной к кривой в данной точке М
0
.
Т.о.,
касательной к кривой в данной точке М
0
называется предельное положение
секущей
М
0
М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М
0
. 
          3.


    МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
    Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь,
пройденный к моменту времени t, v– скорость равномерного движения.
    Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в
общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние sбудет зависеть от времени t, т.е.
будет функцией времени.
    Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону
s=s(t).
    Отметим некоторый момент времени t0. К этому моменту точка прошла путь s=s(t0).
Определим скорость v материальной точки в момент времени t0.
    Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0+Δt. Ему соответствует
пройденный путь s=s(t0+Δt). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь
Δs=s(t0+Δt)–s(t).

   Рассмотрим отношение              . Оно называется средней скоростью в промежутке
времени Δt. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения
точки в момент t0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту
истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток
времени Δt.
   Итак, скоростью движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью)
называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0+Δt, когда Δt→0:

                                                   ,
   т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по
времени.

   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
   Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.




    Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок).Рассмотрим
другую точку М этой кривой и проведем секущую M0M. Если точка М начинает
перемещаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет свое
положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М0 с
любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то
прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0.
    Т.о., касательной к кривой в данной точке М0 называется предельное положение
секущей М0М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М0.

Страницы