Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 134 стр.

    Таким образом, непрерывная функция,
переходя от одного своего значения к другому,
обязательно проходит через все промежуточные
значения. В частности:
    Следствие. Если функция y = f(x)
непрерывна на некотором интервале и
принимает наибольшее и наименьшее значения,
то на этом интервале она принимает, по крайней
мере, один раз любое значение, заключённое
между её наименьшим и наибольшим
значениями.


   ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
   ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
   Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке.




    Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет
определенное значение.
    Рассмотрим два значения аргумента: исходное x0 и новое x. Разность x– x0 называется
приращением аргумента x в точке x0 и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x0
(приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого
равенства следует, что x=x0+Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило
некоторое приращение. Тогда, если в точке x0 значение функции было f(x0), то в новой
точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x0 +Δx).
    Разность y – y0 = f(x) – f(x0) называется приращением функции y = f(x) в точке x0 и
обозначается символом Δy. Таким образом,
                                         Δy = f(x) – f(x0) = f(x0
                                                   +Δx) - f(x0). 1)

    Обычно исходное значение аргумента x0 считается фиксированным, а новое значение
x – переменным. Тогда y0 = f(x0) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной.
Приращения Δy и Δxтакже будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является
функцией переменной Δx.
    Составим отношение приращения функции к приращению аргумента