Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 130 стр.

неограниченно приближается к значению функции в точкеx0, т.е. к f(x0).
      Дадим строгое определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y =
f(x).
      Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой
точке и в некоторой окрестности содержащей x0 и


                                                  . 1)


   Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3
условия:

   1. она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности;
   2. имеет предел при x → x0;
   3. этот предел равен значению функции в точке x0.


    Формулу (1) можно записать в виде                   , т.к.         . Это означает,
что для того, чтобы найти предел непрерывной функции при x → x0, достаточно в
выражение функции подставить вместо аргумента xего значение x0.
    Пример: Докажем, что функция y = 3x2 непрерывна в произвольной точке x0. Для

этого найдем                                       .
    Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a <
b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
    Непрерывные функции обладают следующими свойствами.
    Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма φ(x) = f(x) +
g(x) также есть непрерывная функция в точке x0.
    Доказательство. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то исходя из

определения можно написать                                      . Тогда на основании
свойств пределов будем иметь

                                                                                  .
    Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
    Следующие две теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1.
    Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.
    Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если
знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.
    Если функцию можно представить в виде y = f(u), где u = φ(x), т.е. если функция
зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной
функцией переменной x.
    Примеры:

   1. y = sinx3. Здесь u = x3, y = sin u.
   2. y = etg x, u = tg x, y = eu.