Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то
рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство
. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными.
Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение
A
11
элемента a
11
, 2-ое
уравнение – на
A
21
и 3-е – на A
31
:
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о
разложении определителя по элементам 1-го столбца
.
Далее рассмотрим коэффициенты при
x
2
:
Аналогично можно показать, что и
.
Наконец несложно заметить, что
Таким образом, получаем равенство:
.
Следовательно,
.
Аналогично выводятся равенства
и , откуда и следует
утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет
единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система
либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Примеры. Решить систему уравнений
1.
Итак,
х=1, у=2, z=3. 
      Тогда можно доказать следующий результат.
      Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то
рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём



      Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными.
Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое
уравнение – на A21 и 3-е – на A31:




        Сложим эти уравнения:



      Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о
разложении определителя по элементам 1-го столбца
                                                         .
        Далее рассмотрим коэффициенты при x2:




        Аналогично можно показать, что и                       .



        Наконец несложно заметить, что
        Таким образом, получаем равенство:        .

        Следовательно,          .
      Аналогично выводятся равенства            и          , откуда и следует
утверждение теоремы.
      Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет
единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система
либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
      Примеры. Решить систему уравнений




   1.
        Итак, х=1, у=2, z=3.

Страницы