Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 27 стр.

      СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
МАТРИЦЫ




      Пусть задана квадратная матрица                    , X – некоторая матрица–



столбец, высота которой совпадает с порядком матрицы A.           .
      Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно X
                                                   ,
      где λ – некоторое число. Понятно, что при любом λ это уравнение имеет нулевое



решение             .
      Число λ, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется
собственным значением матрицы A, а X при таком λ называется собственным вектором
матрицы A.
      Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку E·X = X, то матричное
уравнение можно переписать в виде                или               . В развёрнутом
виде это уравнение можно переписать в виде системы линейных уравнений.



Действительно                                     .



      И, следовательно,
      Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения
координат x1, x2, x3 вектора X. Чтобы система имела ненулевые решения необходимо и
достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.




      Это уравнение 3-ей степени относительно λ. Оно называется характеристическим
уравнением матрицы A и служит для определения собственных значений λ.
      Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор X,
координаты которого определяются из системы при соответствующем значении λ.
      Примеры.
      Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы


          .
      Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения