Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 46 стр.

         Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения
   векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае                                   .
   Тогда по определению векторного произведения




         Вектор            перпендикулярен векторам            и   . Вектор            также
   векторам       и   , т.к. векторы      и       ,   и   лежат в одной плоскости.
   Следовательно, векторы                     и           коллинеарны. Очевидно, что

   направления их также совпадают. Т. к.                                          ,и
   следовательно,                         , то                      .
         Поэтому                  .
         Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.


4. Для любых векторов                    имеет место равенство

                                                                        .
         Примем без доказательства.

5. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только
   тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

       Действительно, если векторы коллинеарны, то          , т.е. площадь
   параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.
       Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны,
   необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому
   вектору.
     В частности                 .
Примеры.

1. Раскрыть скобки

                                                                                               .

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах                       и    , если известно,

   что                 и             .


                             .
         Найдем                                            .

                                                           .