Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

1. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х
векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на
этих векторах, как на рёбрах, т.е.
.
Таким образом,
и .
Доказательство
. Отложим векторы от общего начала и построим на них
параллелепипед. Обозначим
и заметим, что . По определению
скалярного произведения
. Предполагая, что и
обозначив через
h высоту параллелепипеда, находим .
Таким образом, при
Если же
, то и .
Следовательно,
.
Объединяя оба эти случая, получаем или .
Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка
векторов
правая, то смешанное произведение , а если –
левая, то
.
2.
Для любых векторов , , справедливо равенство
.
Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко
показать, что
и . Причём знаки "+" и "–" берутся
одновременно, т.к. углы между векторами
и и и одновременно острые
или тупые.
3.
При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет
знак. 
1. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х
   векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на
   этих векторах, как на рёбрах, т.е.               .




       Таким образом,                    и              .
       Доказательство. Отложим векторы              от общего начала и построим на них

   параллелепипед. Обозначим                 и заметим, что                 . По определению
   скалярного произведения

                                                              . Предполагая, что         и

   обозначив через h высоту параллелепипеда, находим                        .


       Таким образом, при

       Если же        , то                                            и              .
   Следовательно,                .

       Объединяя оба эти случая, получаем             или            .
       Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка
   векторов         правая, то смешанное произведение                     , а если       –
   левая, то          .

2. Для любых векторов        ,   , справедливо равенство

                                                           .
       Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко
   показать, что                     и             . Причём знаки "+" и "–" берутся
   одновременно, т.к. углы между векторами                  и и   и       одновременно острые
   или тупые.

3. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет
   знак.

Страницы