Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 49 стр.

      Действительно, если рассмотрим смешанное произведение                         , то,
  например,                                               или
                                                                                              .

4. Смешанное произведение                  тогда и только тогда, когда один из
  сомножителей равен нулю или векторы                     – компланарны.

      Доказательство.

     1. Предположим, что                   , т.е.                 , тогда           или           или
                     .

           Если           , то             или          или        . Поэтому          –
        компланарны.
              Если            , то     ,   , - компланарны.

     2. Пусть векторы                – компланарны и α – плоскость, которой они

        параллельны , т. е.                  и          . Тогда             , а значит                  ,
        поэтому                  или                .

      Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов
  является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того отсюда
  следует, что три вектора      образуют басис в пространстве, если                               .
      Если векторы заданы в координатной форме

                                                                       , то можно показать, что их
  смешанное произведение находится по формуле:



                                                                   .
     Т. о., смешанное произведение       равно определителю третьего порядка, у
  которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке –
  координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.
     Примеры.


     3. Показать, что векторы
        образуют базис в пространстве.




                                                                   , т.е. векторы           – базис.