Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 51 стр.

   Для любой точки M∈ σ вектор            .Поэтому их скалярное произведение равно
нулю              . Это равенство – условие того, что точка M∈ σ. Оно справедливо для
всех точек этой плоскости и нарушается, как только точка M окажется вне плоскости σ.
   Если обозначить через радиус-вектор точки M,          – радиус-вектор точкиM0, то
             и уравнение можно записать в виде
                                                .
   Это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Запишем его в

координатной форме. Так как                                             , то
                                                             .
    Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Таким
образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты
нормального вектора и координаты некоторой точки, лежащей на плоскости.
    Заметим, что уравнение плоскости является уравнением 1-ой степени относительно
текущих координат x, y и z.
    Примеры.

   1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3)
      перпендикулярно вектору              .

         Используя выведенное уравнение, получим 2(x-1)+0(y+2)+4(z-3)=0 или x+2z-
      7=0.

   2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;2;3), B(-1;0;0),
      C(3;0;1).

          Чтобы составить требуемое уравнение, нужно найти вектор перпендикулярный
      плоскости. Заметим, что таким вектором будет вектор                 . Найдем это

      вектор.                                  . Тогда




                                                              .
         Взяв в качестве точки, через которую проходит плоскость точку A, получим
      уравнение –2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0 или x+5y-4z+1=0.


    ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
    Можно показать, что любое уравнение первой степени относительно декартовых
координат x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Это уравнение
записывается в виде:
                                       Ax+By+Cz+D=0
    и называется общим уравнением плоскости, причём координаты A, B, C здесь
являются координатами нормального вектора плоскости.
    Рассмотрим частные случаи общего уравнения. Выясним, как располагается плоскость
относительно системы координат, если один или несколько коэффициентов уравнения
обращаются в ноль.