Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим векторы
и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ –
угол между прямой и плоскостью. Тогда
.
Если угол между векторами
и тупой, то он равен . Следовательно
. Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу
вычисления косинуса угла между векторами, получим
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость
перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой
и
нормальный вектор
плоскости коллинеарны, т.е. .
Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны
тогда и только тогда, когда векторы
и перпендикулярны.
Примеры.
1.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М
1
(2;-3;4) параллельно
прямым
и .
Так как
M
1
∈ α, то уравнение плоскости будем искать в виде
.
Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему
линейных уравнений
Отсюда
Итак,
или .
2.
Найти угол между прямой и плоскостью . 
   Рассмотрим векторы    и   . Если угол между ними острый, то он будет           , где φ –

угол между прямой и плоскостью. Тогда                                .

   Если угол между векторами     и   тупой, то он равен       . Следовательно
                 . Поэтому в любом случае                    . Вспомнив формулу


вычисления косинуса угла между векторами, получим                                        .
   Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость
перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и

нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е.                         .
    Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны
тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

   Примеры.

   1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2;-3;4) параллельно

      прямым                 и                     .

         Так как M1∈ α, то уравнение плоскости будем искать в виде
                                                            .
         Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему


      линейных уравнений
         Отсюда




         Итак,                                   или                          .



   2. Найти угол между прямой                 и плоскостью                .

Страницы