Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (4).
Уравнение (4) называется
каноническим уравнением эллипса.
Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства.
Предложение 1 Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями
симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если
эллипс задан каноническим уравнением (4), то его осями симметрии служат оси
и
, начало координат -- центр симметрии.
Доказательство. Можно было бы провести доказательство на основе
определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления
аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (4).
Пусть эллипс задан уравнением (4) и
-- какая-то точка эллипса. Тогда
(6)
Точка
является точкой, симметричной точке относительно оси (рис.
4).
Симметрия точек
Вычисляем значение левой части уравнения (4) в точке
В силу равенства (6) получаем
следовательно, точка
лежит на эллипсе. Точка является точкой
симметричной точке
относительно оси (рис.4). Для нее аналогичным путем
убеждаемся, что 
  Наконец, разделив обе части на    , получим уравнение (4).
  Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.
  Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства.
      Предложение 1 Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями
симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если
эллипс задан каноническим уравнением (4), то его осями симметрии служат оси   и

   , начало координат -- центр симметрии.
       Доказательство. Можно было бы провести доказательство на основе
определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления
аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (4).

 Пусть эллипс задан уравнением (4) и               -- какая-то точка эллипса. Тогда
                                                                                        (6)




  Точка              является точкой, симметричной точке       относительно оси       (рис.
4).




                                       Симметрия точек




 Вычисляем значение левой части уравнения (4) в точке



 В силу равенства (6) получаем




 следовательно, точка     лежит на эллипсе. Точка                является точкой

симметричной точке      относительно оси       (рис.4). Для нее аналогичным путем
убеждаемся, что

Страницы