Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 67 стр.

 то есть    является точкой эллипса. Наконец точка                 является

симметричной точке      относительно начала координат (рис. 4). Повторяя предыдущие
рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение
предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (4). А так как по теореме 2 любой
эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью
доказано.
  Проведем построение эллипса, заданного уравнением (4). Заметим, что из-за симметрии
достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой

линии мы получим, выразив из уравнения (4) и взяв перед корнем знак "      ",




  Построим график этой функции. Область определения -- отрезок    ,        , при
увеличении переменного от 0 до функция монотонно убывает. В силу симметрии

графика относительно оси      функция     монотонно растет при изменении   от       до 0.


Производная                     определена во всех точках интервала     и,
следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой


точке). Вторая производная                     отрицательна во всех точках интервала

     , следовательно, график -- выпуклый вверх.

 Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка                . Выразим

из уравнения (4) переменное   через   :                . Очевидно, что в точке         эта

функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке

существует. Легко проверить, что она параллельна оси     . Из симметрии эллипса делаем
вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис.5).




                                           Эллипс