Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 71 стр.

 Гипербола



  Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением          ,
где -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы
(равносторонняя гипербола).
      Определение 5 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости,
для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух
фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина
постоянная.
  Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем
подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка
между фокусами, ось       направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно
к нему.

      Теорема 3 Пусть расстояние между фокусами      и    гиперболы равно , а
абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна   .
Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение
                                                                                     (8)




 где
                                                                                     (9)




       Доказательство.    Пусть          -- текущая точка гиперболы.




 Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то

                     , то есть      ,     . В силу последнего неравенства
вещественное число , определяемое формулой (9), существует.

 По условию, фокусы --            ,        .