Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 72 стр.

 По определению гиперболы



 Это уравнение запишем в виде


 Обе части возведем в квадрат:


 После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству


 Опять обе части возведем в квадрат:


 Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим


 С учетом формулы (9) уравнение принимает вид


  Разделим обе части уравнения на     и получим уравнение (8)
  Уравнение (8) называется каноническим уравнением гиперболы.
      Предложение 3 Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями
симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если
гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат

координатные оси    и     , а начало координат -- центр симметрии гиперболы.
      Доказательство. Проводится аналогично доказательству предложения 1.
  Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (8). Заметим, что из-за
симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим

из канонического уравнения   как функцию       , при условии, что     ,



 и построим график этой функции.

 Область определения -- интервал           ,           , функция монотонно растет.
Производная



  существует во всей области определения, кроме точки . Следовательно, график --
гладкая кривая (без углов). Вторая производная




  во всех точках интервала         отрицательна, следовательно, график -- выпуклый
вверх.