Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на
элементарные дроби.
Теорема: Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой
представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что
любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком
виде: P(x) = (x - a)
α
…(x - b)
β
(x
2
+ px + q)
λ
…(x
2
+ rx + s)
μ
), то эта дробь может быть
разложена на элементарные по следующей схеме:
где A
i
, B
i
, M
i
, N
i
, R
i
, S
i
– некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на
элементарные. Для нахождения величин A
i
, B
i
, M
i
, N
i
, R
i
, S
i
применяют так называемый
метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того,
чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были
равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример.
Т.к. (
, то
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем: 
 Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на
элементарные дроби.



 Теорема: Если                   - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой
представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что
любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком
виде: P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ ), то эта дробь может быть
разложена на элементарные по следующей схеме:




где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

 При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на
элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый
метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того,
чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были
равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

 Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.



 Пример.




Т.к. (                                         , то




Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Страницы