Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 17 стр.

                          Интеграл вида                 .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.


Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки        . Эта подстановка
позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.




                                          ,


Тогда



Таким образом:



Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической
подстановкой.

Пример.




 Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда
можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить
соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании
может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой
займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот
метод является единственно результативным.



Пример.