Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 2 стр.

Неопределенный интеграл.
      Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на
промежутке (a;b), если для всех x∈(a;b) выполняется равенство F′(x) = f(x).
     Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.
     Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) ⎯
                                          dF ( x )
первообразная для f(x), так как f ( x ) =          = F ′( x ) .
                                           dx
     Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем
виде всех первообразных данной функции.

      Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где
C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).
      Доказательство.

                        (F + C)′ = F′ + C′ = f + 0 = f

По определению F + C ⎯ первообразная для f.
      Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные
теоремы.
      Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g′(x) = 0.
      Доказательство.
      Так как g(x) = C, справедливы равенства: g′(x) = C′ = 0 (здесь, как и
ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).
      Если g′(x) = 0 при всех x∈(a;b), то g(x) = C на (a;b).
      Доказательство.
      Пусть g′(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1∈(a;b). Тогда
для любой точки x∈(a;b) по формуле Лагранжа имеем

                         g(x) – g(x1) = g′(ξ)(x – x1)

Так как ξ∈(x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g′(ξ) = 0,
откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.
      Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке
(a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C –
число.
      Доказательство.