Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Замена переменной в неопределенном интеграле
Если функция f(x) непрерывна, а функция
ϕ
(t) имеет непрерывную
производную
ϕ′
(t), то имеет место формула
∫
f(
ϕ
(t))
ϕ′
(t) dt =
∫
f(x) dx, где x =
ϕ
(t).
Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода
от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры
обратного перехода.
Примеры. 1. I =
∫
cos(t
3
) t
2
dt. Пусть t
3
= x, тогда dx = 3t
2
dt или
t
2
dt = dx/3.
CtCxdxx
dx
xI +=+===
∫∫
3
sin
3
1
sin
3
1
cos
3
1
3
cos .
2.
∫
+
= dt
t
tt
I
lnln
2
. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.
()
()
.ln
3
2
3
ln
3
2
3
3
3
3
3
22
Ct
t
Cx
x
dxxdxxdxxxI
++=
=++=+=+=
∫∫∫
3.
∫∫
== dt
t
t
dttI
cos
sin
tg . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и
CtCx
x
dx
x
dx
I +−=+−=−=
−
=
∫∫
coslnln .
4.
∫
−
=
2
1 x
dx
I . Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и
CxCtdt
t
dtt
I +=+==
−
=
∫∫
arcsin
sin1
cos
2
.
Формула интегрирования по частям
Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке
функции. Тогда
(uv)
′
= u
′
v + v
′
u 
Замена переменной в неопределенном интеграле
     Если функция f(x) непрерывна, а функция ϕ(t) имеет непрерывную
производную ϕ′(t), то имеет место формула

                      ∫ f(ϕ(t))ϕ′(t) dt = ∫ f(x) dx,              где x = ϕ(t).

     Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода
от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры
обратного перехода.
                                        ∫ cos(t ) t
                                                   3   2
       Примеры. 1. I =                                     dt.   Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или
 2
t dt = dx/3.

                                 dx 1           1           1
           I = ∫ cos x             = ∫ cos xdx = sin x + C = sin t 3 + C .
                                 3 3            3           3

              ln 2 t + ln t
     2. I = ∫               dt . Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.
                     t
                                                                                    3
                         (   2
                                        )
                I = ∫ x + x dx = ∫ x dx + ∫            2
                                                                 x dx =
                                                                        x3 2
                                                                          +
                                                                        3 3
                                                                             x +C =

                    ln 3 t 2
                =
                      3
                          +
                            3
                                    (   ln t    )3 + C.
                                  sin t
     3. I = ∫ tgt dt = ∫                dt . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и
                                  cos t

                                  − dx      dx
                      I =∫             = −∫    = − ln x + C = − ln cos t + C .
                                    x        x

                    dx
     4. I = ∫                    . Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и
                             2
                    1− x

                                  cos t dt
                    I =∫                          = ∫ dt = t + C = arcsin x + C .
                                            2
                                 1 − sin t

Формула интегрирования по частям
     Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке
функции. Тогда

                                             (uv)′ = u′v + v′u

Страницы