Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

∫
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
x
dx
x
x
x
x
xI
2
3
6
2
3
6
3
2
63
2
6
ln
∫∫
=−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= dxxdx
x
x
x
x
2
1
5
2
3
6
3
2
63
2
6
ln
Cx
x
xx
x
+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
3
6
2
3
6
9
4
36
ln
3
2
6
.
В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла,
стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:
()
⎮
⌡
⌠
−
=
xax
dx
I .
Представим дробь
()
1
xa x−
в виде суммы двух дробей:
x
A
и
xa
B
−
, и
попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства
()
()
()
xax
aAxAB
xax −
+−
=
−
1
получим систему уравнений
⎩
⎨
⎧
=
=
−
1
0
aA
AB
с решением
a
B
a
A
1
;
1
== . Отсюда следует:
()
C
xa
x
a
Cxax
axa
dx
ax
dx
a
I +
−
=++−=
−
+=
∫∫
ln
1
lnln
111
.
Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”.
Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных
коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от
дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.
Интегрирование элементарных дробей. 
                        ⎛ x 6 2 3 ⎞ ⎛ x 6 2 3 ⎞ dx
                I = ln x⎜ + x 2 ⎟ − ∫ ⎜ + x 2 ⎟ =
                        ⎜ 6 3 ⎟ ⎜ 6 3 ⎟ x
                        ⎝         ⎠ ⎝         ⎠

                       ⎛ x6 2 3 ⎞ x 5
                                          2
                                               1
                       ⎜        ⎟
                       ⎜ 6 3 ⎟ ∫ 6
                 = ln x    + x2 −     dx − ∫ x 2 dx =
                                          3
                       ⎝        ⎠

                     ⎛ x6 2 3 ⎞          3
                                    x6 4 2
                   = ⎜        ⎟
                         + x ln x −
                            2         − x +C.
                     ⎜ 6 3 ⎟        36 9
                     ⎝        ⎠

     В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла,
стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

                                  ⌠ dx
                               I =⎮           .
                                  ⌡ x(a − x )

                            1                               A    B
Представим дробь                  в виде суммы двух дробей:   и     , и
                         x(a − x)                           x   a−x
попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства
   1
          =
            (B − A)x + aA получим систему уравнений
x(a − x )      x(a − x )

                              ⎧B − A = 0
                              ⎨
                              ⎩aA = 1

              1     1
с решением A = ; B = . Отсюда следует:
              a     a

              1 dx 1 dx  1                        1   x
         I=    ∫  + ∫   = (ln x − ln a + x ) + C = ln   +C.
              a x a a−x a                         a a−x

Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”.
Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных
коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от
дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.




                     Интегрирование элементарных дробей.

Страницы