Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 5 стр.

Отсюда следует

              ∫ (uv)′dx = ∫ (u′v + v′u )dx = ∫ u′v dx + ∫ v′u dx
или

                                ∫ uv′ dx = uv – ∫ u′v dx .
Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по
частям:

                        ∫ u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ∫ v(x)du(x)
      Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

       Примеры. 1. I = ∫ x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v =
sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:

                  I = x sinx – ∫ sinx dx = x sinx + cosx + C.

      2. I = ∫ (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv. Тогда
                     1
du = (2x – 3) dx; v = e 5 x .
                     5

                      1
                      5
                                    (      1
                                                    )
                   I = e5 x x 2 − 5 x + 2 − ∫ (2 x − 3)e5 x dx .
                                           5

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая
                                                     1
2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; v = e5 x , и окончательно
                                                     5
получаем:

              1
              5
                    (               1⎛1
                                        )               1            ⎞
           I = e 5 x x 2 − 3 x + 2 − ⎜ e 5 x (2 x − 3) − ∫ e 5 x 2dx ⎟ =
                                    5⎝5                 5            ⎠

              1
              5
                        (           1
                                    25
                                            )         2
             = e 5 x x 2 − 3 x + 2 − e 5 x (2 x − 3) − e 5 x + C .
                                                      25

              (             )
      3. I = ∫ x 5 + x ln xdx ;

                                                                   3
                                (   5
                  ln x = u; x + x dx = dv;
                                           dx
                                            x
                                                )  x6 2 2
                                              = du; + x = v ;
                                                   6 3