ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Возьмем производную от разности G – F: (G – F)
′
= G
′
– F
′
=
=
f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ⎯ число, то есть G = F + C.
Множество всех первообразных для функции
f(x) на промежутке (a;b)
называется неопределенным интегралом и обозначается
∫
f(x)dx. Если F(x) –
первообразная для f(x), то
∫
f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.
Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции
называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой
формуле дифференциального исчисления
F
′
(x) = f(x) соответствует формула
∫
f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица
неопределенных интегралов:
1)
∫
dx = x + C; 7)
∫
cosx dx = sinx + C;
2)
∫
x
α
dx=
1α
1α
+
+
x
(
α
≠1);
8)
∫
+= Cx
x
dx
tg
cos
2
;
3)
Cx
x
dx
+=
∫
ln ; 9)
∫
+−= Cx
x
dx
ctg
sin
2
;
4)
∫ e
x
dx =e
x
+C;
10)
;ctgarc
tgarc
1
2
Cx
Cx
x
dx
+−=
=+=
+
∫
5)
∫
a
x
dx =a
x
log
a
e+C (
α
≠1) ;
11)
;arccos
arcsin
1
2
Cx
Cx
x
dx
+−=
=+=
−
∫
6)
∫
sinx dx=-cosx + C;
12)
()
C
xa
x
axax
dx
+
−
=
−
∫
ln
1
.
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) (
∫
f(x) dx )
′
=f(x);
4)
∫
d f(x)=f(x)+C ;
2)
∫
f
′
(x) dx= f(x)+C ;
5)
∫kf(x)dx=k∫f(x) dx;
3) d
∫
f(x) dx= f(x)dx; 6)
∫
(f(x)+g(x))dx=
∫
f(x) dx+
∫
g(x) dx ;
7)
Если
∫
f(x) dx = F(x) + C, то
∫
f(ax+b) dx =
()
CbaxF
a
++
1
(a
≠
0).
Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
Возьмем производную от разности G – F: (G – F)′ = G′ – F′ =
= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ⎯ число, то есть G = F + C.
Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b)
называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx. Если F(x) –
первообразная для f(x), то ∫f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.
Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции
называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой
формуле дифференциального исчисления F′(x) = f(x) соответствует формула
∫f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица
неопределенных интегралов:
1) ∫ dx = x + C; 7) ∫ cosx dx = sinx + C;
α x α+1 8) ∫
dx
= tgx + C ;
2) ∫ x dx= (α≠1);
α+ 1 cos 2 x
dx dx
3) ∫ = ln x + C ; 9) ∫ 2 = −ctgx + C ;
x sin x
dx
4) ∫ exdx =ex+C;
∫
10) x 2 + 1
= arctgx + C =
= −arcctgx + C ;
dx
11)
∫ 2
= arcsin x + C =
5) ∫ axdx =axlogae+C (α≠1) ; 1− x
= − arccos x + C ;
dx 1 x
6) ∫ sinx dx=-cosx + C; 12) ∫ = ln +C.
x(a − x ) a a − x
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) ( ∫f(x) dx )′=f(x); 4) ∫d f(x)=f(x)+C ;
2) ∫f′ (x) dx= f(x)+C ; 5) ∫kf(x)dx=k∫f(x) dx;
3) d ∫f(x) dx= f(x)dx; 6) ∫(f(x)+g(x))dx=∫ f(x) dx+∫g(x) dx ;
1
7) Если ∫f(x) dx = F(x) + C, то ∫f(ax+b) dx = F (ax + b ) + C
a
(a ≠ 0).
Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
