Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Определенный интеграл
Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать
функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке
[a;b] произвольные числа x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n-1
, удовлетворяющие условию:
a< x
1
,< x
2
<…< x
n-1
,<b. Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более
мелких промежутков: [a;x
1
], [x
1
;x
2
], …, [x
n-1
;b]. На каждом из этих
промежутков выберем произвольно по одной точке:
c
1
∈[a;x
1
], c
2
∈[x
1
;x
2
], …, c
n
∈[x
n-1
;b].
Введем обозначения: Δx
1
= x
1
– a; Δx
2
= x
2
– x
1
; …, Δx
n
= b – x
n-1
.
Составим сумму:
()
∑
=
Δ=
n
i
ii
xcf
1
σ .
Она называется
интегральной суммой
функции f(x) по промежутку [a;b].
Очевидно, что интегральная сумма
зависит от способа разбиения промежутка
и от выбора точек c
i
.
Каждое слагаемое интегральной
суммы представляет собой площадь
прямоугольника, покрытого штриховкой
на рисунке 1.
Введем обозначение:
λ
= max(Δx
i
), i = 1, 2, …, n.. Величину
λ
иногда
называют
параметром разбиения.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения
неограниченно возрастает таким образом, что величина
λ
стремится к нулю.
Определенным интегралом
()
∫
=
b
a
dxxfI
от функции
(
)
xf по промежутку [a;b] называется предел, к которому
стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:
σ
lim
0λ; →∞→
=
n
I . 
                       Определенный интеграл
      Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать
функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке
[a;b] произвольные числа x1, x2, x3, …, xn-1, удовлетворяющие условию:
a< x1,< x2<…< xn-1,

Страницы