Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Оказывается, что формула из пункта 4
справедлива и тогда, когда
c
∉
[a;b]. Пусть,
например,
c>b, как изображено на рисунке 4. В
этом случае верны равенства
∫∫∫∫∫
b
c
c
a
c
b
c
a
b
a
+=−= .
Определенный интеграл как функция верхнего предела
Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором
промежутке, содержащем точку
a. Тогда каждому числу x из этого
промежутка можно поставить в соответствие число
() ()
∫
x
a
dttfxI = ,
определив тем самым на промежутке функцию
I(x), которая называется
определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в
точке
x = a эта функция равна нулю. Вычислим
производную этой функции в точке
x. Для этого сначала
рассмотрим приращение функции в точке
x при
приращении аргумента
Δx:
ΔI(x) = I(x + Δx) – I(x) =
()
∫
()
∫
=−=
Δ
+
x
a
xx
a
dttfdttf
()
∫
()
∫
()
∫
()
∫
xx
x
x
a
xx
x
x
a
dttfdttfdttfdttf
Δ
+
Δ
+
=−+= .
Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для
приращения
ΔI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной
штриховкой. При малых величинах
Δx (здесь, так же как и везде в этом курсе,
говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в
виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут
быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается
приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке 
                            Оказывается, что формула из пункта 4
                            справедлива и тогда, когда c∉[a;b]. Пусть,
                            например, c>b, как изображено на рисунке 4. В
                            этом случае верны равенства
                                                         b       c     c       c   b
                                                          ∫ = ∫ −∫ = ∫ +∫ .
                                                         a       a     b       a   c

Определенный интеграл как функция верхнего предела
     Пусть   функция      f( t)     определена               и       непрерывна        на   некотором
промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого
промежутка можно поставить в соответствие число
                                            x
                                  I ( x ) = ∫ f (t )dt ,
                                            a


определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется
определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в
                  точке      x=a            эта     функция             равна      нулю.    Вычислим
                  производную этой функции в точке x. Для этого сначала
                  рассмотрим             приращение                  функции       в   точке   x   при
                  приращении аргумента Δx:

                                                ΔI(x) = I(x + Δx) – I(x) =
                                                    x + Δx             x
                                                  = ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt =
                                                      a                a

                    x              x + Δx            x                x + Δx
                  = ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt .
                    a                x               a                     x


Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для
приращения ΔI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной
штриховкой. При малых величинах Δx (здесь, так же как и везде в этом курсе,
говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в
виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут
быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается
приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке

Страницы