Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 33 стр.

и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих
                                                                               b
значений первообразной принято обозначать символом F ( x ) .
                                                                               a
     Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью
формулы Ньютона-Лейбница.
                            π                      π
                            2                      2         π
      Примеры. 1. I = ∫ cos xdx = sin x = sin                  − sin 0 = 1 .
                            0                      0         2
              1
      2. I = ∫ xe x dx .
              0
Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex.
Используя метод интегрирования по частям, получаем: ∫ xe x dx = e x ( x − 1) + C .
В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x – 1) и
применим формулу Ньютона-Лейбница:
                                                         1
                                        I = ex(x – 1)        = 1.
                                                         0
      При вычислении определенных интегралов можно применять формулу
замены переменной в определенном интеграле:
                                b            β
                                ∫ f (x )dx = ∫ f ( (t )) ′(t )dt .
                                a            α

Здесь α и β определяются, соответственно, из уравнений ϕ(α) = a; ϕ(β) = b, а
функции f, ϕ, ϕ′ должны быть непрерывны на соответствующих
промежутках.
                   e
                     ln xdx
       Пример: I = ∫        .
                   1    x
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то
t = 1. В результате получим:

                                    1
                                ln et et dt 1         t2      1
                                                                   1
                           I =∫       t
                                           = ∫ t dt =             = .
                              0     e        0        2       0    2

     При замене переменной в определенном интеграле не нужно
возвращаться к исходной переменной интегрирования.