Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 34 стр.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами
       Если       положить        промежуток      интегрирования        бесконечным,        то
приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл,
например, потому что невозможно осуществить условия n→∞; λ→0 для
бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное
определение.
     Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном
промежутке [a;∞), тогда несобственным интегралом с бесконечным
              ∞                               b
пределом      ∫ f (x ) dx   называется lim ∫ f ( x ) dx , если предел существует. Если
                                        b→∞
              a                               a
этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл. В
этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При
существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится.
      Аналогично
             b                     b              ∞                     ⎛       b            ⎞
             ∫ f ( x ) dx =  lim   ∫ f ( x ) dx и  ∫ f ( x ) dx =  lim  ⎜  lim  ∫ f ( x ) dx ⎟.
                            a → −∞                                a → −∞⎜ b → ∞              ⎟
            −∞                     a              −∞                    ⎝       a            ⎠
                                                  b
                              ∞
                        dx             ⌠ dx    1b      1
       Примеры: 1. I = ∫ 2 . Очевидно: ⎮ 2 = −    = 1 − , откуда следует
                       1x              ⌡x      x1      b
                                                  1
                                              ⎛ 1⎞
                                     I = lim ⎜1 − ⎟ = 1 .
                                         b → ∞⎝  b⎠
                  ∞        b              b
     2. I = ∫
                dx
                 x
                    = lim ∫
                      b →∞
                             dx
                              x
                                                            (       )
                                = lim 2 x = lim 2 b − 2 ; этот предел не
                                  b→∞        b →∞
              4            4              4
существует, следовательно, не существует или расходится интеграл I.
            ∞
              dx
     3. I = ∫ = lim (ln b − 1) ; здесь предел также не существует, и интеграл
            e x
                   b→∞

расходится.




              Геометрические приложения определенного интеграла.

                            Вычисление площадей плоских фигур.