Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 32 стр.

двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой
f(x)Δx. Отсюда получаем соотношение
                                   x + Δx
                        Δ I ( x ) = ∫ f (t )dt ≈ f ( x )Δ x .
                                        x


В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем
меньше величина Δx.
     Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

                              Δ I (x )        f ( x )Δ x
                I ′( x ) = lim         = lim             = f (x ).
                        Δ x →0 Δ x      Δx →0    Δx

     Производная определенного интеграла по верхнему пределу в
точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда
следует, что функция I ( x ) = ∫a f (t )dt является первообразной для функции
                                    x


f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение,
равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный
интеграл в виде
                            x
                             ∫ f (t )dt = I ( x ) − I (a ) .              (1)
                            a


Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме
об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C —
некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

             I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a).            (2)

     Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для
вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
                           b
                            ∫ f (t )dt = F (b ) − F (a ) ,
                           a


которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая
первообразная функции f(x).
     Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по
промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x)