Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального
разбиения промежутка [a;b] и выбора точек c
i
.
Число a называется
нижним пределом
интегрирования
, а число b ⎯ верхним
пределом интегрирования
.
Рассмотрим фигуру, ограниченную
графиком непрерывной, неотрицательной на
промежутке [a;b] функции f(x), отрезком
[a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую
фигуру называют криволинейной трапецией.
На рисунке 2 криволинейная трапеция
выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой
()
∫
b
a
dxxfIS == .
Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и
непрерывна на этом промежутке (например, как
изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной
трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной
оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком
функции y = f(x), определяется формулой
()
∫
b
a
dxxfS −= .
Перечислим свойства определенного интеграла:
1)
()
∫
()
∫
b
a
b
a
dxxfkdxxkf = (здесь k - произвольное число);
2)
() ()()
∫
()
∫
()
∫
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf +=+ ;
3)
()
∫
()
∫
a
b
b
a
dxxfdxxf −= ;
4) Если c
∈
[a;b], то
()
∫
()
∫
()
∫
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf += .
Из этих свойств следует, например, что
0sin
π2
0
=
∫
dxx .
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из
определения определенного интеграла. 
     Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального
разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.
                                                          Число a называется нижним пределом
                                              интегрирования, а число b ⎯ верхним
                            пределом интегрирования.
                                  Рассмотрим фигуру, ограниченную
                            графиком непрерывной, неотрицательной на
                            промежутке [a;b] функции f(x), отрезком
                            [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую
                            фигуру называют криволинейной трапецией.
                            На рисунке 2 криволинейная трапеция
выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой
                                                  b
                                         S = I = ∫ f ( x )dx .
                                                  a

                               Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и
                          непрерывна на этом промежутке (например, как
                          изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной
                          трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной
                          оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком
                          функции y = f(x), определяется формулой
                                                                         b
                                                             S = − ∫ f ( x )dx .
                                                                         a
     Перечислим свойства определенного интеграла:
         b                b
     1) ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (здесь k - произвольное число);
         a                a

         b                           b                b
     2) ∫ ( f ( x ) + g ( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ;
         a                           a                a

         b                a
     3) ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx ;
         a                b
                                 b                c              b
     4) Если c∈[a;b], то ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .
                                 a                a              c
                                                                     2π
     Из этих свойств следует, например, что                          ∫ sin x dx = 0 .
                                                                     0
     Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из
определения определенного интеграла.

Страницы