Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 77 стр.

        Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

  Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го
порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции
у и ее производных            вида:




где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ≠ 0.



 Левую часть этого уравнения обозначим L(y).




Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным
однородным уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется
линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, …
pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным
дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными
коэффициентами.



  Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков,
которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный
интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл
составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее
изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это
объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при
решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное
дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы,
позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

  Рассмотрим способы интегрирования некоторых             типов   линейных
дифференциальных уравнений высших порядков.