Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

При этом многочлен называется
характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
Для того, чтобы функция являлась решением исходного
дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
т.е.
Т.к.
e
kx
≠
0, то - это уравнение называется характеристическим
уравнением
.
Как и любое алгебраическое уравнение степени
n, характеристическое
уравнение
имеет n корней. Каждому корню
характеристического уравнения
k
i
соответствует решение
дифференциального уравнения.
В зависимости от коэффициентов
k характеристическое уравнение может
иметь либо
n различных действительных корней, либо среди действительных
корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные
корни, как различные, так и кратные.
Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее
правило нахождения решения линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим
частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение
e
kx
;
б) каждому действительному корню кратности
m ставится в
соответствие
m решений:
в) каждой паре комплексно – сопряженных корней
характеристического уравнение ставится в соответствие два
решения: 
         При этом многочлен                   называется
   характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

  Для того, чтобы функция             являлась решением исходного
дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

                                  т.е.

 Т.к. ekx ≠ 0, то       - это уравнение называется характеристическим
уравнением.



 Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое
уравнение                    имеет        n   корней. Каждому корню
характеристического    уравнения         ki     соответствует решение
дифференциального уравнения.



 В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может
иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных
корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные
корни, как различные, так и кратные.

 Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее
правило нахождения решения линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами.



 1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

 a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

           б) каждому действительному корню кратности m ставится в
           соответствие m решений:



           в) каждой паре комплексно – сопряженных корней
            характеристического уравнение ставится в соответствие два
           решения:

Страницы