Высшая математика. Семёнова Т.В. - 149 стр.

где                 . Таким образом, угловой коэффициент не должен быть слишком
мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге

точка   может выскочить из рассматриваемой окрестности корня         , и сходимость
итераций к корню может быть нарушена.




 Метод Ньютона (метод касательных)
  Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут
приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо
секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет
иметь вид


                                                                                       (1)



  (сравните с формулой метода одной касательной). Этот метод называется методом
касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения
метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций (скорость
сходимости приближений в котором, напомним, та же, что у геометрической прогрессии

со знаменателем   при           ).

 Поскольку для метода Ньютона




 то




 В точке    получаем            , так как             . Тем самым, в этом методе график

         пересекает прямую           в точности по горизонтали, что приводит к очень
быстрой сходимости итераций к        . Именно, имеет место оценка

                                                                                       (2)