Высшая математика. Семёнова Т.В. - 151 стр.

 Заметим, что по-другому идею метода Ньютона мы можем описать так: на каждом шаге

вместо исходного уравнения              мы решаем приближённое, линеаризованное в точке

  уравнение




 в котором левая часть -- это многочлен Тейлора первого порядка для функции       в

точке      , то есть линейная функция



 Решением линеаризованного уравнения                 служит следующее приближение

    , в то время как решением исходного точного уравнения            служит искомый
корень .

  Идея замены точной (но сложной) задачи последовательностью более простых
линеаризованных задач весьма продуктивна в приближённых методах; например, такая
идея даёт эффективный способ решения многомерных задач с ограничениями (метод
Франка - Вулфа в нелинейном программировании, см., например, [Киселёв В.Ю.,
Экономико-математические методы и модели. -- Иваново: изд. ИГЭУ, 1998]).


        Пример 7 Решим методом Ньютона всё то же уравнение                            ,

взяв в качестве начального приближения         и задав точность             (ту же,
что была взята при решении этого уравнения методом одной касательной). Поскольку

                       , то итерационная формула метода Ньютона будет такой:



 Применяя эту формулу, последовательно находим:


  так что              с точностью . Как мы видим, значение корня с нужной нам
точностью было получено уже на третьем шаге. (Четвёртый шаг понадобился для того,
чтобы можно было убедиться, что с нужной нам точностью значение перестало
изменяться.)

      Упражнение 2 Найдите тот же корень, начав с           . (Заметим, что
итерационную формулу при этом менять не надо, в отличие от метода одной
касательной.) Сколько потребуется итераций для достижения той же точности? Обратите

внимание на то, что сначала приближения (      и   ) окажутся даже вне отрезка            ,

но затем     быстро сходятся к    с той же стороны, что в примере.

 Ответ: Потребуется 6 итераций.