Высшая математика. Семёнова Т.В. - 150 стр.

 где   -- некоторая постоянная (не зависящая от ). Если начальное приближение


взято достаточно близко от корня   , то можно взять                   .

 Заметим, что по сравнению с общей оценкой метода итераций




 постоянная        заменяется в оценке метода Ньютона (2) на стремящуюся к 0

величину           ; отсюда и высокая скорость сходимости.

  Доказательство оценки (9.2) можно найти в учебниках, специально посвящённых
численным методам, например, [Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В.
Вычислительные методы для инженеров. -- М.: Высш. шк., 1994], [Бахвалов Н. С.,
Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987], [Ортега Дж.,
Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. -- М.:
Наука, 1986].

  Скорость сходимости итераций, которая задаётся формулой (2), называется
квадратичной. Квадратичная скорость сходимости означает, примерно говоря, что число

верных знаков в приближённом значении      удваивается с каждой итерацией.

Действительно, если       ,и                 , то                . Это и означает,
что число верных знаков при переходе к следующему приближению возросло с до      ,
то есть удвоилось.

 Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим

касательную к графику           в точке очередного последовательного приближения      ,

а за следующее приближение        берём точку пересечения этой касательной с осью    .
Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь
кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому
неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).




                        Последовательные приближения метода Ньютона