Высшая математика. Семёнова Т.В. - 148 стр.

       того же знака, что производная         . (Заметим, что, во-первых, значение

производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция

или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же
угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве
следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью
   .




                          Последовательные итерации метода секущих




 На чертеже слева изображены итерации при                , в случае                   ив


случае                . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на
первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня   , и итерации начинают

приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки
приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами,

как выглядит процесс в случае           , то есть когда функция       убывает.)

 Достаточное условие сходимости, которое нам даёт теорема 9.3, таково:



 Это неравенство можно записать в виде


 откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,



 так как            (тем самым проясняется смысл выбора знака числа        ), а во-

вторых, когда             при всех на всём рассматриваемом отрезке, окружающем
корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если