Высшая математика. Семёнова Т.В. - 146 стр.

        Упражнение 3 Проведите вычисления тем же методом, переставив местами

начальные приближения       и    , то есть взяв                  . Убедитесь, что

получаются другие значения для               и что с точностью   уже   равняется
искомому корню.

      Пример 9 Проверим, что метод работает и в том случае, если и взяты по
одну и ту же сторону от корня (то есть если корень не отделён на отрезке между

начальными приближениями). Возьмём всё для того же уравнения                     и             .
Тогда




 Мы получили то же значение      , причём за то же число итераций. Может показаться, что

было бы выгоднее расположить начальные приближения иначе, так чтобы              было ближе

к корню, чем   . Однако при этом получаем фактически ту же скорость сходимости,
можно заметить лишь небольшое ускорение:




 Понадобились всё те же семь вычислений.

 Вторая разновидность применения формулы (3) называется методом ложного

положения. Предположим, что корень        отделён на отрезке между     и      , то есть

значения        и        -- разных знаков. После вычисления       по формуле (.3) на

очередном, -м, этапе из двух отрезков: между         и     и между     и         -- выбирают

тот, в концах которого функция    принимает значения разных знаков. Если это отрезок

между       и       , то производят перенумерацию предыдущих приближений, то есть

полагают     равным       , а затем повторяют вычисления по формуле (3). Этим

достигается, что при любом корень       располагается на отрезке между       и       , так что

при выполнении условия                     , где   -- желаемая точность нахождения корня,

вычисления можно прекратить и взять приближённое значение корня равным                     .

При этом гарантируется, что будет выполнено неравенство                    , то есть корень
будет определён с нужной точностью.

  Такое усложнение алгоритма не даёт, на самом деле, сколько-нибудь заметного
преимущества. Проиллюстрируем это на примере.